Ecuaciones de la recta – Matemáticas fáciles

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Ecuaciones de la recta – Matemáticas fáciles ▷➤ Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Podemos entender a la recta, como un conjunto infinito de puntos alineados en una única dirección. La recta vista en un plano, puede ser horizontal, vertical o diagonal, inclinada a la izquierda o a la derecha. A continuación, trataremos de una forma sencilla la ecuación general de la recta, de una manera práctica y fácil para introducir las matemáticas en niños de primaria.


Ecuación general de la recta

De acuerdo con uno de los postulados de la Geometría Euclidiana, para poder determinar una línea recta, sólo es necesario conocer dos puntos:

(A y B) de un plano en un plano cartesiano, con abscisas (x) y ordenadas (y)

Es importante recordar, que hay que dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano, ya que la ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

Ahora comenzamos:

Conocidos esos dos puntos (A y B), todas las rectas del plano quedan incluidas en la ecuación.

Ax + By + C = 0

Que también podemos escribirla de la siguiente manera:

ax + by + c = 0

Esta fórmula se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teorema:

Teorema de la ecuación de la recta

La ecuación general de una recta, es una expresión de la forma Ax+By+C=0, en donde A, B y C son números reales y en qué A y B no son simultáneamente nulos, representa una línea recta.

Ecuación principal de la recta (H3)

Antes de entrar en la ecuación principal de la recta, es necesario conocer lo siguiente:

Cada punto (x, y) que pertenece a una recta, se puede representar en un sistema de coordenadas, siendo “x el valor de la abscisa” e “y el valor de la ordenada”.

(x, y) = (Abscisa, Ordenada)

Ejemplo: El punto (–4, 2) tiene -4 por abscisa y 2 por ordenada.

Si los valores (x, y) pertenecen a la recta, se dice que ese punto satisface la ecuación.

ecuación recta

La ecuación de la recta que pasa solo por un punto conocido y cuya pendiente de la recta también se conoce, se obtiene con la fórmula:

y = mx + n

Ejemplo: El punto (5,3)

En donde 5 es la abscisa (X) y el 3 es la ordenada (Y) satisface la ecuación y = x – 2, ya que al reemplazar queda

2 = 5 – 3 lo que resulta verdadero.

Esto considera las siguientes variables:

  • Un punto (x, y)
  • La pendiente (m)
  • El punto de intercepción en la ordenada (n)

Estas variables juntas, son conocidas como la ecuación principal de la recta y también como forma simplificada.

Cuando representamos la ecuación de la recta en su forma principal, vemos que aparecen dos nuevas variables:

  • la (m)y la (n)

Esto agrega a nuestra ecuación de la recta dos nuevos elementos, que deben considerase al analizar o representar una recta:

La pendiente (m) y el punto de intercepción (n) (también llamado intercepto), en el eje de las ordenadas (y).

En el gráfico superior, (m) representa la pendiente de la recta y permite obtener su grado de inclinación, en relación a la horizontal o abscisa. Podemos ver, que (n) es el coeficiente de posición, el número que señala el punto donde la recta interceptará al eje de las ordenadas (y).

pendiente


Forma simplificada de la ecuación de la recta

Si se conoce la pendiente (m), y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), corresponde a (n) en la fórmula principal ya vista, partiendo de la ecuación de la recta de la forma, podemos deducir:

    • y − y1= m (x − x1)
    • y – b = m (x – 0)
    • y – b = mx
    • y = mx + b

Estas fórmulas demuestran la segunda forma de la ecuación principal de la recta, llamada también: forma explícita de la ecuación.

La forma explícita de la ecuación, se utiliza cuando se conocen la pendiente (m) y la ordenada al origen (o intercepto), que llamaremos b.

Es importante recordar, que hay que dominar todos los aspectos sobre el Plano cartesiano, ya que la ecuación de la recta no tiene existencia conceptual sin un Plano cartesiano.

También se puede utilizar esta ecuación, para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Ejemplo:

La ecuación y = 4x + 7 tiene pendiente 4 y coeficiente de posición 7, lo cual indica que interceptará al eje (y) en el punto (0, 7).

ecuación principal de la recta

Toda vez conocida la fórmula de la ecuación principal, simplificada o explícita de la recta, es posible obtener la ecuación de cualquier recta; siempre que se nos den al menos dos variables, entre ellas: La pendiente, un punto o el intercepto.

Esto quiere decir, que si tenemos esa información se puede conseguir una ecuación de la forma:

y = mx + b

Que cumple con esas condiciones dadas.

La ecuación y = mx + b es la forma generalizada de la forma principal y = mx + n

Por lo tanto, la b corresponde al valor de n el intercepto en la ordenada y.

Ejemplo:

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Para esto, tenemos que hallar la ecuación de la recta y = mx + b.

Usamos la información que tenemos:

Datos

m = 3  y  b = 10 y sustituimos en la ecuación

y = 3x + 10.

La ecuación que se pide es y = 2x + 9.

Veamos que esta forma principal, también podemos expresarla como una ecuación general:

y – 2x – 9 = 0, la cual amplificamos por –1, quedando como:

– y + 2x + 9 = 0, que luego ordenamos, para quedar

2x – y  +  9 = 0


Pendiente de una Recta

Ahora, vamos a continuar con más ejercicios de matemáticas muy fáciles, para calcular la pendiente de una recta.

Para calcular la pendiente de una recta, es necesario conocer los siguientes enunciados:

  • Las rectas paralelas tienen la misma pendiente.

Dos rectas son paralelas, si tienen el mismo vector director o la misma pendiente.

  • Las rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y opuestas.
  • Si una recta tiene pendiente m = – 5 y es perpendicular a otra, entonces esa otra tiene pendiente 5.
  • Si una recta tiene pendiente m = – 3 y es paralela a otra, entonces esa otra también tiene pendiente m = – 3.

Si m = 0 la recta es horizontal, es decir, paralela al eje x.

Si y = 0, la recta es perpendicular.

Si n = 0 la recta pasa por el origen.

Determinar la pendiente de una recta

Ya que hemos aclarado los enunciados anteriores, podemos hallar la ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada o hallar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos.

Por ejemplo, si una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto (1, 3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación principal y nos quedaría:

3 = 2 · 1 + n,

y despejando n, queda n = 1.

Por lo tanto, la ecuación de esa recta será:

y = 2x + 1.

Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1, 3) y (2, 5), debemos sustituir estos valores en la ecuación principal y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:

  • 3 = m · 1 + n,
  • 5 = m · 2 + n.

Ejemplo

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, – 4) y que tiene una pendiente de  – 1/3

Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y – y1 = m(x – x1)

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

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